a) cho x,y,z>0 sao cho xyz=1. CMR $\frac{x^4y}{x^2 1} \frac{y^4z}{^{y^2 1}} \frac{z^4x}{^{z^2 1}}\ge\frac{3}{2}$b) cho a,b,c,d>0 sao cho a b c d=4. CMR \(\frac{a}{1 b^2c} \frac{b}{1 c^2d} \frac{c}{1...

4

LV

Lầy Văn Lội

15 tháng 6 2017

$x,y,z\ge1$nên ta có bổ đề: $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}$

ÁP dụng: $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}$

$\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

$\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

Dấu = xảy ra $x=y=z$hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị

TN

Thắng Nguyễn

15 tháng 6 2017

trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))

2. a) $\left\{{}\begin{matrix}x,y,z1\\x+y+z=xyz\end{matrix}\right.$ Tìm min $P=\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{x^2}$ b) $a,b,c0.Cmr:\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$ c) $\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\ge0\\x^2+y^2+z^2=2\end{matrix}\right.$ Tìm max $P=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}-\frac{1+yz}{9}$ d) $\left\{{}\begin{matrix}a,b,c0\\a+b+c=3\end{matrix}\right.$. Cmr:...

BN

bach nhac lam

25 tháng 4 2020

9

TT

Trần Thùy Linh

25 tháng 4 2020

$A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}$

$=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}$

Áp dụng bđt AM-GM ta có

$A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

$\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}$$=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}$

$=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}$$\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

25 tháng 4 2020

a/ Một cách đơn giản hơn:

$x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$

$P=\frac{x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}}{y^2}+\frac{y-\frac{1}{2}+z-\frac{1}{2}}{z^2}+\frac{z-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}}{x^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

$P=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

$P\ge\frac{2}{xy}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{yz}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{zx}\left(z-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

$P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1$

$P\ge\sqrt{3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}-1=\sqrt{3}-1$

$P_{min}=\sqrt{3}-1$ khi $x=y=z=\sqrt{3}$

TK

Thiều Khánh Vi

19 tháng 8 2019

1.Cho a,b,c dương, a+b+c≤1.CMR: $\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}\ge10$
2.Cho a,b, c >0. CMR: $\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82};x+y+z\le1$

#Toán lớp 10

2

TT

Trần Thanh Phương

19 tháng 8 2019

2.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :

$\left(1+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2$

$\Leftrightarrow82\cdot\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2$

$\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge x+\frac{9}{x}$

Tương tự ta cũng có :

$\sqrt{82}\cdot\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge y+\frac{9}{y}$

$\sqrt{82}\cdot\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge z+\frac{9}{z}$

Cộng theo vế của các bất đẳng thức ta được :

$\sqrt{82}\cdot\left(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\right)\ge x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}$

$\Leftrightarrow\sqrt{82}\cdot P\ge x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}$(1)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

$x+\frac{9}{x}+y+\frac{9}{y}+z+\frac{9}{z}=81x+\frac{9}{x}+81y+\frac{9}{y}+81z+\frac{9}{z}-80x-80y-80z$

$\ge2\sqrt{\frac{81x\cdot9}{x}}+2\sqrt{\frac{81y\cdot9}{y}}+2\sqrt{\frac{81z\cdot9}{z}}-80\left(x+y+z\right)$

$\ge2\sqrt{729}+2\sqrt{729}+2\sqrt{729}-80\cdot1$

$=82$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\sqrt{82}\cdot P\ge82$

$\Leftrightarrow P\ge\sqrt{82}$ ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

TT

Trần Thanh Phương

19 tháng 8 2019

1.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :

$\frac{a^2+1}{a}+\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}$

$=a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}$

$=9a+\frac{1}{a}+9b+\frac{1}{b}+9c+\frac{1}{c}-8a-8b-8c$

$\ge2\sqrt{\frac{9a}{a}}+2\sqrt{\frac{9b}{b}}+2\sqrt{\frac{9c}{c}}-8\left(a+b+c\right)$

$\ge3\cdot2\sqrt{9}-8=10$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

a, Cho các số a,b,c,d nguyên dương đôi một khác nhau thoả mãn: $\frac{2a+b}{a+b}+\frac{2b+c}{b+c}+\frac{2c+d}{c+d}+\frac{2d+a}{d+a}=6$. CMR: A = abcd là số chính phương b, Giải phương trình: $\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2+\frac{x+1}{x-4}-3\left(\frac{2x-4}{x-4}\right)^2=0$ c, Cho x,y,z dương và x + y + z = 1. CMR: $\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge9$ d, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:...

LB

Lunox Butterfly Seraphim

29 tháng 1 2020

#Toán lớp 8

1

VM

Vũ Minh Tuấn

29 tháng 1 2020

a) Ta có:

$\frac{2a+b}{a+b}+\frac{2b+c}{b+c}+\frac{2c+d}{c+d}+\frac{2d+a}{d+a}=6$

$\Leftrightarrow\left[\left(\frac{2a+b}{a+b}-1\right)+\left(\frac{2b+c}{b+c}-1\right)-1\right]+\left[\left(\frac{2c+d}{c+d}-1\right)+\left(\frac{2d+a}{d+a}-1\right)-1\right]=0$

$\Leftrightarrow\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}-1\right)+\left(\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}-1\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(\frac{a.\left(b+c\right)}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}+\frac{b.\left(a+b\right)}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}-\frac{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}\right)+\left(\frac{c.\left(d+a\right)}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}+\frac{d.\left(c+d\right)}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}-\frac{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(\frac{ab+ac}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}+\frac{ab+b^2}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}-\frac{ab+ac+b^2+bc}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}\right)+\left(\frac{cd+ac}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}+\frac{cd+d^2}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}-\frac{cd+ac+d^2+ad}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(\frac{ab+ac+ab+b^2-ab-ac-b^2-bc}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}\right)+\left(\frac{cd+ac+cd+d^2-cd-ac-d^2-ad}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}\right)=0$

$\Leftrightarrow\frac{ab-bc}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}+\frac{cd-ad}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}=0$

$\Leftrightarrow\frac{ab-bc}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}=-\frac{cd-ad}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{ab-bc}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}=\frac{ad-cd}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{b.\left(a-c\right)}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}=\frac{d.\left(a-c\right)}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{b}{\left(a+b\right).\left(b+c\right)}=\frac{d}{\left(c+d\right).\left(d+a\right)}$ (vì $a;b;c;d$ là số nguyên dương).

$\Leftrightarrow b\left(c+d\right).\left(d+a\right)=d\left(a+b\right).\left(b+c\right)$

$\Leftrightarrow\left(bc+bd\right).\left(d+a\right)=\left(ad+bd\right).\left(b+c\right)$

$\Leftrightarrow bcd+abc+bd^2+abd=abd+acd+b^2d+bcd$

$\Leftrightarrow bd^2+abc=b^2d+acd$

$\Leftrightarrow bd^2-b^2d=acd-abc$

$\Leftrightarrow bd.\left(d-b\right)=ac.\left(d-b\right)$

$\Leftrightarrow bd.\left(d-b\right)-ac.\left(d-b\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(d-b\right).\left(bd-ac\right)=0$

Vì $a;b;c;d$ là số nguyên dương.

$\Rightarrow d-b>0$

$\Rightarrow d-b\ne0.$

$\Leftrightarrow bd-ac=0$

$\Leftrightarrow bd=ac.$

Lại có:

$A=abcd$

$\Rightarrow A=ac.bd$

$\Rightarrow A=ac.ac$

$\Rightarrow A=\left(ac\right)^2.$

$\Rightarrow A=abcd$ là số chính phương (đpcm).

Chúc bạn học tốt!

1. Cho a,b,c > 0. Cmr: a) $\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ca}+\frac{ab}{c^2+2ab}\le1$ b) $\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}$ 2. Cho $x,y,z0;x+\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge3;\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge2;\frac{z}{5}\ge1.MaxP=x^2+y^2+z^2$ 3. Cho $x0;y\ge2;2x+y+xy\ge6.MinP=x^3+y^2$ 4. Cho $0 \alpha \beta \gamma$. Giả sử x,y,z > 0 TM...

BN

bach nhac lam

4 tháng 1 2020

6

AH

Akai Haruma

Giáo viên

5 tháng 1 2020

Vì đã khuya nên não cũng không còn hoạt động tốt nữa, mình làm bài 1 thôi nhé.

Bài 1:

a)

$2\text{VT}=\sum \frac{2bc}{a^2+2bc}=\sum (1-\frac{a^2}{a^2+2bc})=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$

Do đó: $2\text{VT}\leq 3-1\Rightarrow \text{VT}\leq 1$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

b)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\text{VT}=\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left(\frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ab^2}{b^2}\right)$

$=\frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{16}(1)$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$

$\Rightarrow \frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2)}\leq \frac{3}{16}(a+b+c)(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{4}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

AH

Akai Haruma

Giáo viên

5 tháng 1 2020

Lý giải xíu chỗ $3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$ cho bạn nào chưa rõ:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^3+ac^2)+(b^3+a^2b)+(c^3+b^2c)+(ab^2+bc^2+ca^2)$

$\geq 2a^2c+2ab^2+2bc^2+(ab^2+bc^2+ca^2)=3(ab^2+bc^2+ca^2)$

1. a) $\left\{{}\begin{matrix}x,y,z0\\xyz=1\end{matrix}\right.$. Tìm max $P=\frac{1}{\sqrt{x^5-x^2+3xy+6}}+\frac{1}{\sqrt{y^5-y^2+3yz+6}}+\frac{1}{\sqrt{z^5-z^2+zx+6}}$ b) $\left\{{}\begin{matrix}x,y,z0\\xyz=8\end{matrix}\right.$. Min $P=\frac{x^2}{\sqrt{\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{\left(1+y^3\right)\left(1+z^3\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{\left(1+z^3\right)\left(1+x^3\right)}}$ c) $x,y,z0.$ Min...

BN

bach nhac lam

2 tháng 3 2020

3

ZC

zZz Cool Kid zZz

26 tháng 4 2020

Câu 1 chuyên phan bội châu

câu c hà nội

câu g khoa học tự nhiên

câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ

câu f đặt $a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}$

Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !

T

tthnew

25 tháng 4 2020

Câu c quen thuộc, chém trước:

Ta có BĐT phụ: $\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}$ $(\ast)$

Hay là: $\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}$

Có: $8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]$

$= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} $

Từ đó BĐT $(\ast)$ là đúng. Do đó: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}$

$\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1$

Done.

1. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=1. TÌM GTNN của biểu thức: A=$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ 2. Cho a, b,c>0 và a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức S=$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. 3. CHo x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn đk: x+y+z≤ 6. CM: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ ≥ $\frac{3}{2}$. 4. Cho 4 số dương a, b,c, d . CMR $a^4+b^4+c^4+d^4$ ≥ 4abcd. ...

NT

Nguyễn Thị Nguyệt Ánh

28 tháng 5 2020

#Toán lớp 8

3

NT

Nguyễn Thị Nguyệt Ánh

1 tháng 6 2020

BĐT Bunhiacopxky em chưa học cô ạ

Cô cong cách nào không ạ

AH

Akai Haruma

Giáo viên

1 tháng 6 2020

Nguyễn Thị Nguyệt Ánh:

Vậy thì bạn có thể chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ thông qua BĐT Cô-si:

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

Nhân theo vế:

$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz$

$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \frac{9}{x+y+z}$
hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

1) cho a,b,c là 3 số thực khác 0 thỏa mãn a+b-c/c=b+c-a/a=c+a-b/bhãy tính B= (1+b/a)(1+a/c)(1+c/b)2) CHo 2 số a, b thỏ mã a+3b= 0. tính giá trị M = $\frac{2a+b}{a-b}=\frac{2a-b}{a+2b}$3) Cmr b= $2x^2-12xy+5y^2$ và c= $-x-4y^2+12xy$ ko cùng nhận giá trị âm4) CHo p/s : d= $\frac{n^2+3n-21}{2-n}$a) tính d biết $n^2-3n=0$b) Tìm tất cả giá trị của n để d nguyên5)Tìm các số nguyên m thỏa mãn (5-m)(2m-1)>06)Tìm x,y...

MC

Miriki Chishikato

4 tháng 3 2018

#Toán lớp 7

0

NN

Nguyễn Ngọc Thanh Tâm

23 tháng 4 2020

1 Cho x,y,z > 0 . CMR : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{36}{9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}$

2 . Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ac=1. CMR

$\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{3}{2}$

1

S

✰๖ۣۜŠɦαɗøω✰

24 tháng 4 2020

Bài 1 :

Bât đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

( xy+yz + zx )(9 + x²y² +z²y² + x²z² ) $\ge$36xyz

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

xy+ yz + zx $\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$ ( 1)

Và 9 + x²y² + z²y² + x²z² $\ge12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}$

hay 9+ x²y² + z²y²+ x²z² $\ge12\sqrt[3]{xyz}$ (2)

Do các vế đều dương ,từ (1) và (2) suy ra :

( xy + yz +zx )( 9+ x²y² + z²y² + x²z² ) $\ge36xyz\left(đpcm\right)$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =z = 1

Bài 2:

$\hept{\begin{cases}a;b;c>0\\ab+bc+ca=1\end{cases}}$

Có : $\hept{\begin{cases}\sqrt{1+a^2}\ge\sqrt{2a}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}a\\\sqrt{1+b^2}\ge\sqrt{2b}\Rightarrow\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}b\\\sqrt{1+c^2}\ge\sqrt{2c}\Rightarrow\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}c\end{cases}}$

=> $\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(ab+bc+ca\right)$

=> $\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a =b =c = $\frac{1}{\sqrt{3}}$